Möchte man von vornherein bestimmte Internetseiten oder Lesezeichen im Privatfenster (Brave Browser) bzw. Inkognitofenster (Google Chrome) öffnen, so lässt sich dies mit der Erweiterung Incognito Regex (Fixed Version) erreichen.

Nachdem die Erweiterung installiert ist kann man in den Einstellungen URLs oder Teile einer Internetadresse hinterlegen. Ferner können reguläre Ausdrücke verwendet werden um beispielweise google.de oder als google.com mit einem Eintrag abzufangen:

Sobald man eine entsprechende Adresse aufruft, wird die Seite automatisch in einem (neuen) Privatfenster geöffnet.

Quelle

stackoverflow – opening a bookmark in firefox and chrome in incognito mode or private mode from browser not in private mode [closed]

Update 14.02.2023

Um den chrome web store (Erweiterungen) auszuschließen kann der reguläre Ausdruck wie folgt aussehen:

google\.(de|com)\/(?!webstore)

google.de und google.com samt Diensten wie z.B. /maps, /translate, usw. werden nach wie vor im Privatfenster geöffnet, der Webshop aka web store hingegen im normalen Fenster. Nur so ist die Installation von Erweiterungen aus dem Webstore möglich.